פיזיקת קוונטים

מבנה הקורס

1. שבוע 1

   להסביר בביטחון מהי פונקציית גל, מה מודד |ψ|^2, ומה תפקיד הפאזה המרוכבת בהתאבכות – כולל יישום חישובי קצר שמראה כיצד שינוי פאזה מחליף דפוסי בהירות ואפלה.

   • מה בעצם קוונטום? מסד מושגים, ניסוי שני הסדקים והבטחת פונקציית הגל100 דק׳שיעור פתוח

     כתוב/י בפסקה משלך: מה הבעיה שניסוי שני הסדקים מציב לפיזיקה קלאסית, וכיצד רעיון פונקציית הגל פותר אותה. הוסיף/י תרשים ידני של דפוס התאבכות והסבר/י מה מייצג |ψ|^2 בכל נקודה.

   • |ψ|^2 כהסתברות: פרשנות בורן ונירמול אינטואיטיבי ללא מתמטיקה כבדה90 דק׳שיעור פתוח

     קבל/י התפלגות מילולית לאורך מסך (פסים בהירים וחושכים). תאר/י היכן ההסתברות לפגיעה גבוהה/נמוכה ולמה. לאחר מכן נסח/י בכללים מילוליים: מה צריך להיות נכון לפונקציית גל מנורמלת.

   • פאזה מרוכבת – למה בכלל i? תמונת גלים, אוילר והרעיון של שלב110 דק׳שיעור פתוח

     חשב/י את אמפליטודת הסכום של שני גלים מאותו גודל עם הפרש פאזה φ: השתמש/י בנוסחת אוילר כדי להראות שהעוצמה היחסית פרופורציונית ל-1+cosφ. תאר/י במילים איך זה מסביר פסים בהירים/כהים.

   • ħ ומה מספרות לנו יחידות: קני מידה, תדרים ואורכי גל90 דק׳

     קח/י תרחיש מילולי (אלקטרון בתנועה איטית). חשב/י בקירוב את סדרי הגודל של תדירות וזמן אופייני אם E≈ħω (אל תכניס/י מספרים מדויקים – רק בדיקת מימדים וסדרי גודל). סיים/י בשאלה: האם שינוי בקנה המידה של ħ היה משנה את דפוס ההתאבכות שנצפה? נמק/י.

2. שבוע 2

   לתפעל בבטחון מספרים מרוכבים (נוסחת אוילר, ייצוג פולרי) ולהחיל כללי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי בסיסיים לנירמול פונקציות פשוטות – הכנה ישירה לניסוח ופתרון משוואות קוונטיות.

   • מספרים מרוכבים לעומק: ייצוג פולרי, אוילר ופאזות110 דק׳

     המר/י את z=1−i לייצוג פולרי r e^{iθ}; חשב/י z^3 באמצעות הצגה זו והחזיר/י לצורה קרטזית. הראה/י כיצד שינוי θ ב-π מחליף בבת אחת מקסימום במינימום בעוצמה של סכום שני גלים.

   • חשבון: נגזרות, אינטגרלים ונירמול על קו ישר120 דק׳

     נתונה פונקציה ψ(x)=A sin(kx) על קטע [0,L]. בצעי/ה נגזרת ראשונה ושנייה, ואז קבע/י את A כך שנורמליזציית ∫|ψ|^2 dx=1 מתקיימת. פרט/י כל שלב.

   • בדיקת מימדים ויחידות עקבית (עם ħ)90 דק׳

     בדוק/י את הממדים של אברי האנרגיה הקינטית והפוטנציאל במשוואת שרדינגר בתצורה 1D. אשר/י שכל איבר הוא בעל ממד של אנרגיה, והסבר/י היכן ħ נכנס.

3. שבוע 3

   להבין אופרטורים כ"מדידות", מכפלות פנימיות, ומבנה ערכים/מצבים עצמיים – ולהפעיל את מושגי התנע והמיקום כבסיס ליחסי קומוטציה.

   • וקטורים במרחב מצבים, מכפלה פנימית ואורטונורמליות100 דק׳

     בהינתן שני מצבים |u>, |v> כשהמכפלה הפנימית <u|v>=0 והנורמות 1: הסבר/י מה פירוש הדבר הסתברותית. ספק/י דוגמה אנלוגית (כמו מצבי בסיס אורתוגונליים) והדגם/י נירמול.

   • אופרטורים הרמיטיים, ערכים עצמיים ומדידות120 דק׳

     הראה/י שאם Â הרמיטי ו-Â|a>=a|a>, אז a חייב להיות ממשי. השתמש/י בהגדרת ההרמיטיות ובמכפלה פנימית. פרט/י את שלבי ההסקה.

   • מיקום ותנע, קומוטטורים ואי־ודאות110 דק׳

     חשב/י את הקומוטטור [x, p]=iħ באמצעות ייצוג אופרטור התנע כתצורה ∂/∂x על פונקציה כללית φ(x). הסק/י את אי־שוויון הייזנברג ברמה איכותית והסבר/י את משמעותו.

4. שבוע 4

   לפתור משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר שני עם תנאי שפה פשוטים, ולהתחיל לקשר בין ייצוג x לנוטציית דיראק לצורך פישוט חישובים.

   • משוואות דיפרנציאליות מסדר שני ותנאי שפה110 דק׳

     פתור/י את y''+k^2 y=0 על קטע [0,L] עם y(0)=0, y(L)=0. מצא/י את משפחת הפתרונות והסבר/י כיצד תנאי השפה מכמתים את k.

   • אורטוגונליות ושלמות של סטים סינוסואידליים100 דק׳

     הראה/י באמצעות אינטגרל שמצבי sin(nπx/L) אורתוגונליים. חשב/י את מקדם הנירמול המדויק עבור n≠m ו-n=m.

   • נוטציית דיראק מינימלית: חיבור לייצוג במרחב x90 דק׳

     כתבו את אותו מצב גם כ-ψ(x) וגם כ-|n>. הסבירו כיצד <x|n>=ψ_n(x) מאפשר להעביר חישובים בין ייצוגים. בצעו דוגמה קצרה: חשבו הסתברות מעבר בין שני מצבים אורתוגונליים.

5. שבוע 5

   לנסח את משוואת שרדינגר (תלויית־זמן ובלתי־תלויית־זמן) ולבצע הפרדת משתנים ב-1D עד לקבלת משוואת ערכים עצמיים של ההמילטוניאן.

   • שרדינגר תלויית־זמן: מבנה כללי ופירוש110 דק׳

     הסבר/י מה מייצג כל איבר במשוואת שרדינגר התלויית־זמן ב-1D. כתוב/י את צורת הפתרון המופרד ψ(x,t)=ϕ(x)T(t) והצדק/י מדוע זה מניב קבוע הפרדה E.

   • הפרדת משתנים: מן ψ(x,t) לבעיה סטציונרית120 דק׳

     החל/י את ההצבה ψ=ϕ(x)T(t) על המשוואה, הראה/י שקבלת T'(t)/T(t)=-iE/ħ ושהמשוואה המרחבית היא המילטוניאן על ϕ שווה Eϕ. כתוב/י בבירור את שלבי הביניים.

   • מצבי אנרגיה עצמיים והזדהותם כתצפיות אפשריות80 דק׳

     הסבר/י מדוע פתרונות עצמיים של ההמילטוניאן נותנים ערכי אנרגיה אפשריים במדידה. הביא/י דוגמה פשוטה של על־מיקום במרחב מצבים והראה/י קשר לתוחלת אנרגיה.

6. שבוע 6

   לבצע פתרון מלא של באר אינסופית: פונקציות גל, תנאי שפה, נירמול, וספקטרום אנרגיה E_n∝n^2 – כולל פרשנות הסתברותית.

   • הגדרת הבעיה: פוטנציאל אינסופי בגבולות והשלכותיו100 דק׳

     שרטט/י את V(x) עבור באר אינסופית על [0,L], ונמק/י מדוע ψ חייבת להתאפס בקצוות. הסק/י את צורת הפתרון בתוך הבאר לפני הטלת תנאי השפה.

   • פתרון צורה, כימות n ונירמול מדויק130 דק׳

     גזור/י את ψ_n(x)=√(2/L) sin(nπx/L) וחשב/י את E_n=n^2π^2ħ^2/(2mL^2). ודא/י נירמול ואורטוגונליות באמצעות אינטגרלים מפורשים.

   • פרשנות |ψ|^2 ודוגמאות הסתברותיות90 דק׳

     חשב/י את ההסתברות למצוא את החלקיק בין x=L/4 ל-x=L/2 עבור n=1 ו-n=2. השווה/י מילולית בין ההתפלגויות.

7. שבוע 7

   לחשב תוחלות ⟨x⟩, ⟨p⟩ ו-⟨E⟩ במצבי הבאר ולהשתמש באורטוגונליות ושלמות לבדוק עקביות פתרונות.

   • תוחלות במרחב הבאר: ⟨x⟩ ו-⟨x^2⟩120 דק׳

     חשב/י עבור n=1 את ⟨x⟩ ו-⟨x^2⟩. הסק/י את השונות Δx והסבר/י את משמעותה ביחס לצורת |ψ|^2.

   • תנע ואנרגיה: ⟨p⟩, ⟨p^2⟩ ו-⟨E⟩110 דק׳

     הראה/י כי ⟨p⟩=0 במצבי הבאר הסינוסואידליים וחשב/י ⟨p^2⟩ לקשרו לאנרגיה. בדוק/י עקביות עם E_n מהשבוע הקודם.

   • בדיקות עקביות ואורטוגונליות בפירוקים למצבים90 דק׳

     הצג/י פירוק של מצב כללי כסכום מצבי n. נצל/י אורטוגונליות כדי להראות שנורמה נשמרת. יישם/י על דוגמה פשוטה של צירוף של n=1 ו-n=2.

8. שבוע 8

   להבין ולהשוות באר סופית לאינסופית: מצבים קשורים, חדירת מנהור ושינויים בצורת ψ(x) ובספקטרום.

   • באר סופית: תמונה איכותית ודיפרנציאלית90 דק׳

     שרטט/י פוטנציאל באר סופית והסבר/י מדוע בקצוות הפתרון אקספוננציאלי דועך. סווג/י מצבים קשורים לעומת רציפים.

   • תנאי התאמה בגבולות ושוואות טרנסצנדנטיות110 דק׳

     בנה/י את תנאי הרציפות ל-ψ ו-ψ' בבקרת החיבור בין סינוס/קוסינוס לביטויי דעיכה. כתוב/י את המשוואה הטרנסצנדנטית לקביעת האנרגיות (ללא פתרון מספרי מלא).

   • השוואה לאינסופית: מגמות, ספקטרום ומנהור90 דק׳

     מנה/י שלוש הבדלים מהותיים בין באר סופית לאינסופית והדגם/י עם סקיצות של ψ(x) עבור מצב יסוד. פרט/י את תפקיד מנהור בקבילה להסתברות מחוץ לבאר.

9. שבוע 9

   ליישם דגימה דיסקרטית ונירמול מספרי בסיסי ל-ψ(x) ולהשוות מגמות לחישובים האנליטיים שביצעת.

   • דגימה ושרטוט: מהפונקציה לגרף90 דק׳

     בנה/י טבלת ערכים עבור ψ_1(x)=√(2/L) sin(πx/L) ב-11 נקודות שוות רווח בין 0 ל-L, ושרטט/י בקירוב את |ψ|^2. סכם/י מה רואים מהגרף.

   • נירמול מספרי: סכומים במקום אינטגרלים110 דק׳

     חשב/י סכום ריבועים משוקלל של הערכים מהשיעור הקודם כדי להעריך את הנירמול (בהחלפת אינטגרל בסכום רימן). השווה/י לתוצאה האנליטית והערך/י את השגיאה.

   • אימות מגמות: אנרגיה מול מספר קוונטי80 דק׳

     השלם/י טבלה קטנה ל-E_n∝n^2 עבור n=1..4 ושרטט/י גרף נקודות של E לעומת n^2. הסק/י קו ליניארי ומדוע זה צפוי.

10. שבוע 10

    לזהות ולתקן שגיאות נפוצות בבאר ולבצע פתרון עצמאי מודרך מלא – כולל בדיקות עקביות ושילוב כלים ממחלקות קודמות.

    • תקלות נפוצות: בלבול בין ψ ל-|ψ|^2, גבולות ונירמול100 דק׳

      קבל/י ארבע טענות קצרות (חלקן שגויות) על פתרון באר. סמנו/י שגיאות, תקן/י והסבר/י למה. כלול/י בדיקה ממדית אחת לפחות.

    • פתרון מודרך מקצה לקצה: חלקיק בקופסה140 דק׳

      בצע/י פתרון מלא מאפס ל-bare: ניסוח הבעיה, פתרון, נירמול, תוחלות ⟨x⟩ ו-⟨E⟩ ובדיקות אורטוגונליות. הגש/י תיעוד מסודר של כל השלבים.

    • מעבר ייצוגים כמנוף לפישוט חישובים90 דק׳

      שחזר/י את חישוב ⟨E⟩ גם בשפת דיראק: ⟨n|Ĥ|n⟩. השווה/י לאורך הדרך לשלבים שבוצעו במרחב x והסבר/י יתרונות כל ייצוג.

11. שבוע 11

    לתכנן ולהריץ מיני־פרויקט: תיעוד פתרון או סימולציה פשוטה המאמתת את הספקטרום והתפלגות |ψ|^2, כולל מתודולוגיה להשוואה ולבדיקות עקביות.

    • עיצוב המיני־פרויקט: מפרט, נתיבי אימות ותכנון תיעוד90 דק׳

      נסח/י דף מפרט קצר: מטרות, קלט/פלט צפויים, בדיקות אימות (למשל E_n∝n^2 ואורטוגונליות), ותבנית לתיעוד צעדים ותוצאות.

    • יישום מודולרי: חישוב אנרגיות וסקיצות |ψ|^2110 דק׳

      בנה/י טבלאות/סקיצות עבור n=1..3: ψ_n, |ψ|^2, E_n. ציין/י היכן תשלב/י בדיקות נירמול ואורטוגונליות בתהליך.

    • בקרת איכות: בדיקות עקביות והצלבת תוצאות90 דק׳

      בצע/י שלוש בדיקות עקביות שונות על המכלול שהכנת (נירמול, ⟨E⟩ תואם ל-E_n, התנהגות גבולית). תעד/י ממצאים ותיקונים.

12. שבוע 12

    ללטש ולהשלים מיני־פרויקט מבוסס באר אינסופית תוך קישור חכם בין אנליטיקה, נומריקה ותיעוד – מוכנות להערכה הסופית.

    • שילוב סופי: נרטיב טכני ברור ותוצאות ניתנות לשחזור90 דק׳

      ערוך/י את הדוח כך שכל חישוב שנדרש משוחזר שלב־אחר־שלב, עם בדיקות עקביות מוטמעות ומסקנות קצרות לכל פרק משנה.

    • הרחבת אופק: השוואה איכותית לבאר סופית80 דק׳

      הוסף/י נספח שמשווה מגמות עיקריות לבאר סופית (ללא חישוב מפורט): צורת ψ, מספר מצבים קשורים, ומנהור. הדגש/י מה יידרש כדי לממש זאת בהמשך.

    • חזרה מרווחת: מושגי יסוד ותחביר מתמטי קריטי100 דק׳

      צור/י דף נוסחאות והסברים קצרים משלך: פוסטולטים, [x,p]=iħ, הגדרות נירמול, E_n בבאר, כללי אוילר ושגרות אינטגרל שכיחות. זה ישמש כעמוד עוגן להערכה הסופית.

מקורות מאומתים

כל מקור נבדק שהוא נגיש בזמן בניית הקורס. מקור שלא נמצא — לא נכנס.

• Quantum Physics I (8.04) – MIT OpenCourseWare (עמוד הקורס הרשמי, אביב 2013)אומת
• Lecture Notes – 8.04 Quantum Physics I (Spring 2016)אומת
• Introduction to Quantum Mechanics (Griffiths & Schroeter) – Cambridge University Press (עמוד הספר)נבדק
• Phys. 2b 2026 – Week 2 Notes (Caltech): Infinite Square Wellאומת
• PhET: Quantum Bound States – הסימולציה הרשמיתאומת