מתמטיקה 4–5 יחידות

מבנה הקורס

1. שבוע 1

   בסוף השבוע: תוכל/י לקרוא ולפרש גרפים בסיסיים, לזהות תחום הגדרה ומבנה אלגברי של פונקציה, ולהסביר בפשטות מהי נגזרת כשיפוע משיק – עם סקיצה מדויקת ראשונה משלך.

   • מהי חקירת פונקציה – הסיפור הגרפי שמאחורי נוסחה70 דק׳שיעור פתוח

     בחר/י פונקציה מוכרת אחת מכל סוג: קווית, ריבועית ומנה פשוטה. כתוב/כתבי בשלושה משפטים לכל פונקציה: (א) מה סיפרה לי המשוואה, (ב) מה ראיתי בגרף, (ג) איך הסיפור הגרפי עונה על "מה קורה כש-x גדל מאוד". סיים/סיימי בסקיצה ידנית נקייה לכל אחת (צירי סימון, חיתוכים בקירוב).

   • רענון חד וממוקד: אלגברה ותבניות פונקציה נפוצות80 דק׳שיעור פתוח

     פתור/פתרי שלוש משימות: (1) פרק/י לגורמים את x^2−5x+6 והסבר/י איך זה מקל על מציאת שורשים; (2) פשט/י את הביטוי (x^2−1)/(x−1) לתחום x≠1; (3) זיהוי סוג הפונקציה והפרמטרים שלה עבור y=2(x−3)^2−5 ושרטט/י סקיצה מהירה לפי טרנספורמציות.

   • תחומי הגדרה, ערך מוחלט ושברים – היסודות שלא נופלים בבחינה50 דק׳שיעור פתוח

     לשלוש פונקציות נתונות קבע/י תחום הגדרה במפורש: (א) f(x)=(x+1)/(x−2); (ב) g(x)=√(5−2x); (ג) h(x)=|x−3|/(x^2−9). פרט/י את פירוק המקרים עבור הערך המוחלט בסעיף (ג) ושרטט/י טיוטת גרף המבליטה נקודות בעייתיות.

   • יסודות גרפיים: שיפוע, חיתוכים וטרנספורמציות בראייה אחת40 דק׳

     קבל/י גרף סכמטי של פונקציה ע"י תיאור מילולי: "הגרף חותך את ציר y ב-−2, יש נקודת מינימום ב-x=1, והגרף שיקוף של פרבולה סטנדרטית ביחס לציר ה-x". הפק/י משוואה אפשרית וציין/ני את הסטיות (הזזה/מתיחה/שיקוף) שביצעת. סיים/סיימי בשאלה פתוחה אחת: כיצד ניתן לאשר בוודאות שהנקודה ב-x=1 היא קיצון? שמור/שמרי את השאלה – נענה עליה בתחילת שבוע 2.

2. שבוע 2

   בסוף השבוע: תוכל/י להסביר ולהראות חזותית את הנגזרת כשיפוע משיק, לזהות עלייה/ירידה וקיצון בגרף, ולבסס יסודות חזקים בגאומטריה אנליטית (מרחק ושיפוע).

   • נגזרת – מה רואים בעין ומה מחשבים ביד80 דק׳

     בחר/י פונקציה אחת עם עקומה חלקה (למשל פרבולה מוזזת). סמנו שלוש נקודות x שונות, העריכו שיפוע משיק מכל נקודה בעזרת קירוב חותך (Δy/Δx קטן), ותאר/י במילים היכן השיפוע חיובי/שלילי/אפס ומה זה אומר על קיצון.

   • גאומטריה אנליטית – מרחק ושיפוע ללא חורים70 דק׳

     חישוב מדויק: (א) המרחק בין A(−2,3) ל‑B(4,−1); (ב) שיפוע הישר העובר דרך שתי הנקודות; (ג) משוואת הישר במתכונת y=mx+b וחישוב הזווית שהוא יוצר עם הציר החיובי של x.

   • מחברים הכול: גרף, שיפוע ונגזרת50 דק׳

     לגרף סכמטי נתון (תיאור מילולי): ציין/ני לכל קטע האם f'>0 או f'<0, וסמן/ני בקירוב נקודות עם f'=0. כתוב/כתבי שתי מסקנות מילוליות על הקשר בין שינוי בגרף לבין סימן הנגזרת.

3. שבוע 3

   בסוף השבוע: תוכל/י לגזור פונקציות נפוצות באופן שוטף לפי הכללים ולנצל כלי GeoGebra (Derivative/Extremum) להצלבה חזותית מהירה; התחלה מעשית עם מעגלים במישור.

   • חוקי גזירה לפי הנוסחאון – בלי טריקים מיותרים90 דק׳

     גזור/גזרי צעד-צעד: (א) f(x)=3x^4−2x^2+7x−5; (ב) g(x)=(x^2+1)/(x−1) באמצעות כלל המנה; (ג) h(x)=√(x+4) כחזקה 1/2. בסיום, כתוב/כתבי בדיקה עצמית: מה התחום שבו הנגזרת קיימת בכל סעיף?

   • GeoGebra לחקירה: Derivative ו‑Extremum בפועל70 דק׳

     הזינו פונקציה שבחרתם בשיעור הקודם ל‑GeoGebra, הפעילו את כלי Derivative ואת הפקודה Extremum(f). השוו בין נקודות הקיצון שהתקבלו לבין פתרון אלגברי ידני מהשיעור הקודם, וכתבו דו"ח קצר (5–6 שורות): היכן יש התאמה מלאה, והיכן נדרשה זהירות בתחום ההגדרה?

   • מעגלים במישור – מצורה סטנדרטית לכללית ובחזרה60 דק׳

     המר/י את x^2+y^2−6x+4y−12=0 לצורה (x−a)^2+(y−b)^2=r^2 ע"י השלמת ריבוע, מצא/י מרכז ורדיוס, וקבע/י האם הנקודה P(1,2) בתוך/על/מחוץ למעגל. צרף/י שרטוט נקי.

4. שבוע 4

   בסוף השבוע: תוכל/י לזהות אסימפטוטות והתנהגות בקצה, ולהקים תשתית לחקירה מלאה; בגאומטריה – תנאי השקה ומשיק למעגל.

   • לפני החקירה: תחום, נקודות בעייתיות ואסימפטוטות70 דק׳

     ל‑f(x)=(2x+1)/(x−3): (א) תחום הגדרה; (ב) אסימפטוטה אנכית ואופקית/אלכסונית אם קיימת; (ג) שרטוט סכמטי מדויק סביב x=3 ובקצוות x→±∞, כולל סימון כיווני הגרף.

   • ישרים ומשיקים למעגל – תנאי השקה ובנייה יעילה80 דק׳

     למעגל (x−2)^2+(y+1)^2=25: מצא/י משוואת משיק במעבר דרך הנקודה Q(−3,4) אם היא על המעגל; אם לא – קבע/י האם קיימים משיקים מנקודה זו. השתמש/י בתנאי השקה (מרחק מרכז–ישר = רדיוס) להצדקה.

   • אסטרטגיית חקירה – שלד קבוע לשאלון 3558160 דק׳

     נסח/י צ'ק‑ליסט חקירה אישי: סדר פעולות מחייב (תחום→אסימפטוטות→נגזרת 1→נגזרת 2→סקיצה). החל/החילי על פונקציה פולינומית פשוטה ובדוק/בדקי שכל שלב מגובה בנימוק קצר.

5. שבוע 5

   בסוף השבוע: תוכל/י לבצע חקירה מלאה לפונקציה רציונלית, כולל קיצון ועקמומיות, ולהצליב תוצאות חזותית; התחלה בבעיות משולבות מעגל–ישר עם פרמטרים.

   • חקירה מלאה – מהנוסחה ועד סקיצה תקנית100 דק׳

     בצע/י חקירה מלאה ל‑f(x)=(x+1)/(x^2−4): תחום, אסימפטוטות, נגזרת ראשונה לעלייה/ירידה וקיצון, נגזרת שנייה לעקמומיות/אינפלקציה, וסקיצה נקייה עם כל הסימונים. סיים/סיימי בבדיקת עקביות: האם הסקיצה מכבדת את האסימפטוטות?

   • בקרת איכות לחקירה – איפה הכי קל לטעות60 דק׳

     בדיקת חקירה מהשיעור הקודם מול GeoGebra: אשר/י סימני פונקציה, מיקום אסימפטוטות והתנהגות בקצה. כתוב/כתבי שלושה סיכונים נפוצים והוכח/י שהימנעת מהם באמצעות גרפים ונימוקים קצרים.

   • בעיות משולבות – מעגלים וישרים עם פרמטר70 דק׳

     פתור/פתרי מערכת של מעגל (x−a)^2+(y−2)^2=9 וישר y=mx+b: קבע/י תנאים על m,b למספר הפתרונות (0/1/2) באמצעות השוואה אלגברית ושיקולי מרחק. צרף/י שרטוטים אופייניים לכל מקרה.

6. שבוע 6

   בסוף השבוע: תוכל/י להוכיח עקמומיות ואינפלקציה, ולסיים בהצלחה שאלה מלאה בחקירת פונקציה תחת זמן (אבן דרך 1).

   • נגזרת שנייה, עקמומיות ואינפלקציה – בלי חורים70 דק׳

     ל‑f(x)=x−1/(x): חשב/י f', f''; קבע/י תחומים של קמירות/קעירות ונקודות אינפלקציה אפשריות עם בדיקת סימן מסודרת. צרף/י סקיצה שמדגישה שינוי עקמומיות.

   • חידוד כלי GeoGebra – הצלבה לנגזרת שנייה60 דק׳

     הצג/י את f''(x) ב‑GeoGebra (באמצעות Derivative(f,2)) וסמן/ני בגרף את קטעי הקמירות/קעירות שאישרת ידנית. כתוב/כתבי שתי אבחנות היכן חזותיות חשפה טעות אלגברית פוטנציאלית.

   • בעיות פרמטר מתקדמות – הכנה לניתוח מעמיק70 דק׳

     למעגל (x−1)^2+(y+2)^2=r^2 וישר y=tx+1: קבע/י עבור אילו t הרדיוס המינימלי הדרוש למגע (השקה) הוא בערך נתון. נמק/י עם תנאי השקה ומרחק נקודה–ישר.

7. שבוע 7

   בסוף השבוע: תוכל/י לבנות ולנמק משוואת משיק מנקודה/ממקדם, ולהתחיל לעצב דף עזר חזותי אישי "החוקר הגרפי".

   • ישרים ומשיקים – בנייה שיטתית מנקודה ובדיקת השקה70 דק׳

     למעגל x^2+y^2=10: (א) מצא/י משיק בנקודה שעל המעגל P(3,1); (ב) מצא/י משוואת הישר המשיק בעל שיפוע m=1 והנקודות בהן נוגע במעגל. נמק/י בעזרת מרחק מרכז–ישר.

   • דף העזר החזותי – תשתית ב‑GeoGebra80 דק׳

     בנה/בני ב‑GeoGebra דף אחד שמציג: פונקציה f, אסימפטוטות שסימנת ידנית, נקודות קיצון/אינפלקציה (Extremum), ומודול מעגל–ישר בסיסי (קלט מרכז/רדיוס/שיפוע). שמור/שמרי גרסה 1 והוסף/י כיתובונים מסבירים.

   • תרגול ממוקד: חיבור שיפוע–מרחק–משיק60 דק׳

     לזוג נקודות ולקטע ישר נתון, חשב/י שיפוע, בנה/בני משוואת ישר במרחק נתון מהמקור, והראה/הראי גרפית היכן הוא משיק למעגל נתון. כתוב/כתבי נימוק קצר לכל שלב.

8. שבוע 8

   בסוף השבוע: תוכל/י לפתור שאלה מלאה בגאומטריה אנליטית ברמת 5 יח"ל תחת זמן (אבן דרך 2), ולשלב ניטור עצמי חכם מול דוגמאות רשמיות.

   • בעיות משולבות מלאות – מעגלים, ישרים ופרמטרים90 דק׳

     פתרון מלא של בעיית מעגל–ישר עם פרמטר t: סיווג מספר הפתרונות לפי t, בניית משיקים מנקודה חיצונית ומציאת תנאי מעבר דרך נקודה נתונה. הצג/י תרשים מסכם לכל מקרה.

   • תרגול זמן: חקירת פונקציה בסגנון בחינה70 דק׳

     פתור/פתרי שאלה מלאה בחקירת פונקציה בזמן מוקצב (35 דק'). סמן/ני לאחר מכן שלושה מקומות שבהם הגרף עזר לאמת החלטה אלגברית (או לחשוף טעות).

   • ניטור עצמי חכם מול דוגמאות רשמיות50 דק׳

     השווה/השווי פתרון שלך (חקירה או גאומטריה) ל"דוגמאות למענה" רשמיות: כתוב/כתבי שתי נקודות חוזקה ושני תיקונים קונקרטיים, והדגש/י ייתכנות לדרכי פתרון נכונות נוספות.

9. שבוע 9

   בסוף השבוע: דף העזר "החוקר הגרפי" מתקדם לגירסה בשלה; שליטה משולבת בפרמטרים ובעקרונות בקרת איכות.

   • פרמטרים מתקדמים – תכנון מסלול ומינימום‑מקסימום גיאומטריים70 דק׳

     במסגרת מעגל וישר פרמטריים, מצא/י ערך t המינימלי/מקסימלי לקיום חיתוך/השקה בתנאי אילוץ נתון (למשל מעבר דרך תחום מוגבל). נמק/י בכל שלב בתנאי מרחק/שיפוע.

   • דף העזר – אינטגרציה מלאה של מודולי הפונקציות והמעגלים90 דק׳

     שדרג/י את דף העזר: הוסף/י תצוגת f', f'' וציון אוטומטי של קטעי עלייה/ירידה וקמירות/קעירות; בצד הגאומטרי – כפתור לבדיקת תנאי השקה (מרחק=רדיוס). כתוב/כתבי הוראות שימוש קצרות.

   • חזרה מצטברת: מיני‑מבחן כפול (חקירה + מעגל)50 דק׳

     פתור/פתרי שתי משימות קצרות ברצף: (א) תתי‑סעיפים מחקירה (תחום, אסימפטוטות, קיצון); (ב) תתי‑סעיפים במעגל–ישר (משיק, מספר פתרונות). רשום/רשמי דקה אחת של תובנה מכל חלק.

10. שבוע 10

    בסוף השבוע: יציבות תחת זמן בשתי החזיתות – שאלה מלאה בחקירה ושאלה מלאה בגאומטריה, עם השוואה לדוגמאות רשמיות.

    • חקירה תחת זמן – שיפור דיוק ומהירות70 דק׳

      פתור/פתרי שאלה מלאה בסגנון 35581 ב‑35 דקות. סמנו 3 נקודות שבהן חסכת/ה וחסכת זמן בזכות דף העזר או בדיקות ביניים חכמות.

    • גאומטריה אנליטית תחת זמן – יציבות נימוקית70 דק׳

      פתור/פתרי בעיית מעגל–ישר מלאה ב‑30 דקות. סמנו היכן השתמשת/השתמשת במדויק בנוסחאות מרחק/שיפוע וכיצד נימקת כל השקה. ציין/ני שתי טעויות שנמנעת מהן ולמה.

    • ניטור עצמי מעמיק – יישור קו מול הרשמי60 דק׳

      השווה/השווי את שני פתרונות הזמן שלך לדוגמה רשמית אחת לפחות. כתוב/כתבי טבלת תיקונים: סעיף→מה לשפר→איך אבדוק את זה בעצמי באימון הבא.

11. שבוע 11

    בסוף השבוע: חזרה גנרלית מלאה במתכונת בחינה, ודף העזר "החוקר הגרפי" מוכן לשימוש.

    • חזרה גנרלית – חלק חקירת פונקציה80 דק׳

      השלם/השלימי מקטע חקירה מלא במתכונת בחינה (כולל סקיצה). בצע/י בקרת איכות שיטתית לפי הרשימה מהשבוע החמישי וסמן/ני התאמות בגרף.

    • חזרה גנרלית – חלק גאומטריה אנליטית70 דק׳

      פתור/פתרי בעיית מעגל–ישר הכוללת משיק מנקודה, תנאי השקה ומספר פתרונות. הקפד/י על נימוקי מרחק/שיפוע ברורים בכל שלב.

    • דף העזר – ליטוש אחרון והנחיות שימוש60 דק׳

      בדיקה אחרונה של דף העזר: האם כל מודולי הפונקציה והמעגלים פועלים ומתויגים? כתוב/כתבי דף הוראות אישי קצר (עד עמוד) לשימוש בזמן אימון.

12. שבוע 12

    בסוף השבוע: מוכנות מלאה לביצוע משימות הסיום – שתי שאלות מלאות תקניות, עם שליטה בבקרת איכות וניהול זמן.

    • מלכודות נפוצות ובקרת איכות מתקדמת70 דק׳

      פתור/פתרי מיני‑סט של 6 תתי‑סעיפים (שלוש חקירה, שלוש מעגלים) המתמקדים במלכודות: נקודות אי‑רציפות, אסימפטוטות אלכסוניות שגויות, והשקה מדומה. כתוב/כתבי לכל סעיף בדיקת נגד קצרה.

    • אסטרטגיית זמן ודיוק – הישורת האחרונה60 דק׳

      בצע/י סימולציה קצרה: 15 דק' לחקירה חלקית + 15 דק' למעגל חלקי, עם דגש על החלטות זמן (מתי לעבור סעיף, מתי להצליב ב‑GeoGebra). סכם/סכמי כללי אצבע אישיים.

    • ניטור עצמי סופי – בדק בית מול הרשמי50 דק׳

      בחר/י פתרון אחרון שלך והשווה/השווי לנוסח דוגמה רשמי: אשר/י שכל הנימוקים עומדים בסטנדרט. עדכן/עדכני את דף ההוראות האישי בהתאם.

מקורות מאומתים

כל מקור נבדק שהוא נגיש בזמן בניית הקורס. מקור שלא נמצא — לא נכנס.

• תוכנית הלימודים החדשה – מתמטיקה חטיבה עליונה (מידע רשמי על מבנה היבחנות, דוגמאות, נוסחאונים)אומת
• בחינת בגרות מתמטיקה 5 יח"ל – שאלון ראשון 35581, מועד קיץ תשפ"ה (2025) – PDF רשמיאומת
• נוסחאון מתמטיקה 5 יח"ל – תכנית חדשה (PDF רשמי)אומת
• מאגר 'דוגמאות למענה' לבחינות בגרות (bagptr) – מתמטיקהאומת
• GeoGebra Manual – Derivative Tool (כלי הנגזרת)אומת
• GeoGebra – Accessibility and Commands (Extremum, Derivative)נבדק
• University of Illinois – Analytic Geometry (מרחק, שיפוע, מעגל, משיק) – פרק מרוכזנבדק
• Whitman College – Calculus (Chapter 1: Analytic Geometry)נבדק